주기함수 이해

【 정의 】
 
▶ 함수 f의 정의역에 속하는 모든 실수 χ에 대하여
▶ f(χ+p)=f(χ)를 만족하는
▶ 0 아닌 상수 p가 존재할 때
 
함수 f를 주기함수라 하며, 이런 상수 p중에서 최소인 양수를 그 함수의 주기라고 한다.
 
※ f(χ+p+q)=f(χ+q) 식은 χ축으로 q 만큼 평행이동 하면 f(χ+p)=f(χ) 식이 됨
 

【 예시 】
 
예를 들면, ∙∙∙∙∙=f(χ-6)=f(χ-4)=f(χ-2)=f(χ)=f(χ+2)=f(χ+4)=f(χ+6)=∙∙∙∙∙는 주기가 2인 주기함수이다. 이때, 위 등식에서 f(χ+4)=f(χ)이므로 이를 주기가 4인 주기함수라고도 할 수 있겠는가? 아니다.
 
【 주의 사항 】
 
f(χ+p)=f(χ)에서 p는 ① 주기(최소 양수)와 ② 정수의 ③ 곱으로 세분되어져야 한다. 즉, p=『주기 Χ 정수』 로 표기되어져야 하는 것이다.
 
예시의 등식 f(χ+4)=f(χ)는 f(χ+2Χ2)=f(χ+2)=f(χ)이므로, 주기는 4가 아니라 “2”가 된다. 보다 일반화하면, 1Χ4, 2Χ2, (1/3)Χ12, ∙∙∙ 이기 때문에 주기를 바로 “4”라고 하면 안된다.
 
【 문제 1 】 다음 중 f(χ+4)=f(χ)를 만족시키지 않는 것은?
 
   ① f(χ)=sin(𝜋/2)χ   ② f(χ)=sin(3𝜋/2)χ   ③ f(χ)=cos(5𝜋/2)χ
   ④ f(χ)=cos(8𝜋/3)χ                               ⑤ f(χ)=tan2𝜋χ
 
【 풀이 1 : 주기 만큼 평행이동 】 정답 ④
 
   ① f(χ)의 주기는 2𝜋/(𝜋/2)=4 ∴ f(χ+4)=f(χ)
 
   ② f(χ)의 주기는 2𝜋/(3𝜋/2)=4/3
   ∴ f(χ+4)=f(χ+4-4/3)=f(χ+8/3)=f(χ+8/3-4/3)=f(χ+4/3)=f(χ)
   ∴ 주기 4/3에 3을 곱하면 4가 돼, 『주기(4/3) Χ 정수(3)』 꼴로
        나타낼 수 있음
 
   ③ f(χ)의 주기는 2𝜋/(5𝜋/2)=4/5
   ∴ f(χ+4)=f(χ+4-4/5)=f(χ+16/5)=f(χ+16/5-4/5)=f(χ+12/5)=∙∙∙=f(χ)
 
   ④ f(χ)의 주기는 2𝜋/(8𝜋/3)=3/4
   ∴ f(χ+4)=f(χ+13/4)=f(χ+5/2)=∙∙∙=f(χ+1/4)=f(χ-1/2)이므로, f(χ+4)≠f(χ)
 
   ⑤ f(χ)의 주기는 𝜋/2𝜋=1/2
   ∴ f(χ+4)=f(χ+7/2)=f(χ+3)=f(χ+5/2)=f(χ+2)=∙∙∙=f(χ)
 
【 문제 2 】 모든 실수 χ에 대하여 f(χ+2)=f(χ)가 성립하는 함수는?
 
   ① f(χ)=(1/2)sin(𝜋/2)χ      ② f(χ)=sin𝜋χ      ③ f(χ)=√3sin4𝜋χ
 
【 풀이 2 : 주기 정수 곱 찾기 】 정답 ② ③
 
   ① f(χ)의 주기는 2𝜋/(𝜋/2)=4
   ∴ 주기 4에 정수 n을 곱해 2를 만들 수 있는 정수가 존재하지 않음.
        따라서, f(χ+2)≠f(χ)
 
   ② f(χ)의 주기는 2𝜋/𝜋=2
   ∴ 주기 2에 정수 1을 곱해 2를 만들 수 있음. 따라서, f(χ+2)=f(χ)
 
   ③ f(χ)의 주기는 2𝜋/4𝜋=1/2
   ∴ 주기 1/2에 정수 4를 곱해 2를 만들 수 있음. 따라서, f(χ+2)=f(χ)
 
Q.E.D.
 
 
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